Última atualização: 13 de Aug. de 2024

Calculadora de Direção de Vetor

Q: Como encontrar um vetor de magnitude 3 na direção de v = 12i - 5k?

Para encontrar um vetor de magnitude 3 na direção de v = 12i - 5k : Encontre a magnitude de v : | v |= √(12² + (-5)²) = 13 Encontre um vetor unitário û na direção de v . Para fazer isso, divida v por sua magnitude: û = v /| v | = (12/13)i − (5/13)k Multiplique a magnitude desejada 3 pelo vetor unitário û . Você obtém o vetor w : w = 3û = (36/13)i − (15/13)k que tem a direção e a magnitude desejadas.

Q: Como calcular o vetor unitário na direção de v = i + j + 2k?

Para calcular um vetor unitário na direção de v = i + j + 2k : Encontre a magnitude de v : | v | = √(1² + 1² + 2²) = √6 ≈ 2,4495 Divida o vetor v por sua magnitude: û = v /| v | = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k É isso! û é o vetor unitário na direção de v .

Criada por Luis Hoyos

Luis Hoyos

Luis Hoyos is a fresh graduate Mechanical Engineer with thermodynamics and fluids mechanics expertise. He's interested in learning new things and applying them to real-life problems. Luis also likes to build tools that make repetitive and boring tasks a breeze, like calculators (surprise?). When he's not creating calculators, he's in the process of building the size of the tissue attached to his bones, aka bodybuilding. He also loves being with his little cat and seeing her do crazy things. See full profile

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Revisada por Anna Szczepanek, Doutor/a e Rijk de Wet

Rijk de Wet

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Holds a Master's degree in Data Science / Industrial Engineering, obtained at Stellenbosch University, South Africa. His research investigates using swarm intelligence to solve data clustering and other optimization problems. Will never refuse an offer to play some board games. See full profile

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Traduzida por Marinara Andrade do Nascimento Moura, Doutorando/a e João Rafael Lucio dos Santos, Doutor/a

Índice

Como calcular a direção de um vetor?Como encontrar o ângulo de direção do vetor?Como calcular um vetor unitário na direção de outro vetor?Como encontrar um vetor de alguma magnitude na direção de outro?Como encontrar a magnitude e a direção de dois vetores?Perguntas frequentes

Se quiser calcular a direção de um vetor, você está no lugar certo. Com essa calculadora Omni, você encontra o ângulo de direção de um vetor e calcula um vetor unitário nessa direção.

Os vetores são uma ferramenta poderosa para representar muitos parâmetros no nosso mundo físico. Eles representam forças, velocidades, aceleração, etc.

Com esta ferramenta, você pode encontrar a magnitude e o ângulo de direção de qualquer vetor.

Como calcular a direção de um vetor?

Você pode expressar ou calcular a direção de um vetor v de duas maneiras:

Calculando o ângulo de direção do vetor v. O ângulo de direção é o ângulo que v forma com o eixo x positivo, contando no sentido anti-horário.
Calculando um vetor unitário na direção do mesmo vetor. Esse vetor unitário é chamado de vetor de direção.

Como encontrar o ângulo de direção do vetor?

Para calcular o ângulo $\theta$ que um vetor bidimensional $\vec{v} = (x, y)$ forma com o eixo horizontal, use esta equação:

\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)

O único problema com essa equação é que ela não nos dá o ângulo em relação ao eixo x positivo, mas apenas em relação ao eixo horizontal mais próximo. Se o seu vetor estiver no primeiro quadrante do plano cartesiano, como o vetor que aponta para $P(3, 5)$ na imagem, isso não é um problema.

Imagem mostrando os quatro quadrantes do plano cartesiano e um vetor P(3,5).

Mas e se o vetor estiver em qualquer um dos outros quadrantes? Suponha que você queira encontrar o ângulo de direção $\theta$ do vetor $Q = (-2, 4)$ da imagem anterior. Se você usasse a fórmula anterior para encontrar o ângulo de direção, não obteria o ângulo correto, pois encontraria o ângulo $\gamma$ em vez do ângulo de direção $\theta$ .

Imagem mostrando os quatro quadrantes do plano cartesiano e um vetor P(-2,4).

Como lidar com isso? Bem, nesse caso, você deve ter notado que $\theta = 180^\circ - \gamma$ . Você pode estender esse raciocínio para os outros casos e propor as seguintes equações para calcular a direção do vetor em cada quadrante:

No primeiro quadrante, $\theta_\text{I} = \arctan(\frac{y}{x})$ .
No segundo quadrante, $\theta_\text{II} = 180° - \arctan(\frac{y}{x})$ .
No terceiro quadrante, $\theta_\text{III} = 180° + \arctan(\frac{y}{x})$ .
No quarto quadrante, $\theta_\text{IV} = 360° - \arctan(\frac{y}{x})$ .

🙋 O termo $\arctan(\frac{y}{x})$ fornece um ângulo em radianos, e você deve convertê-lo em graus antes de usá-lo nas equações do segundo, terceiro ou quarto quadrante. Visite a nossa calculadora de conversão de ângulos 🇺🇸 para saber como fazer isso.

Como calcular um vetor unitário na direção de outro vetor?

Para encontrar um vetor unitário û na direção de outro vetor v = (x, y, z), siga os passos a seguir:

Encontre a magnitude do vetor v:

|v| = √(x² + y² + z²)
Divida cada coeficiente do vetor v pela magnitude de v:

û = v/|v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)
É isso! Você agora tem o vetor unitário na direção de v.

Como encontrar um vetor de alguma magnitude na direção de outro?

Para encontrar um vetor de magnitude específica na direção de outro vetor v = (x, y, z):

Encontre a magnitude do vetor v:

|v| = √(x² + y² + z²)
Encontre um vetor unitário û na direção de v. Para fazer isso, divida cada coeficiente do vetor v pela magnitude do vetor:

û = v/|v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)
Multiplique a magnitude do vetor desejado pelo vetor unitário û. Isso resultará no vetor desejado.

Como encontrar a magnitude e a direção de dois vetores?

Para encontrar a magnitude e a direção de dois vetores, você deve encontrar o vetor resultante (você pode usar nossa calculadora de soma de vetores para fazer isso) e aplicar a ele os passos descritos acima.

Agora que você imagina como encontrar a magnitude e o ângulo de direção de um vetor, vamos ver alguns exemplos numéricos e perguntas frequentes.

Perguntas frequentes

Como encontrar um vetor de magnitude 3 na direção de v = 12i - 5k?

Para encontrar um vetor de magnitude 3 na direção de v = 12i - 5k:

Encontre a magnitude de v:

|v|= √(12² + (-5)²) = 13
Encontre um vetor unitário û na direção de v. Para fazer isso, divida v por sua magnitude:

û = v/|v| = (12/13)i − (5/13)k
Multiplique a magnitude desejada 3 pelo vetor unitário û. Você obtém o vetor w:

w = 3û = (36/13)i − (15/13)k que tem a direção e a magnitude desejadas.

Como calcular o vetor unitário na direção de v = i + j + 2k?

Para calcular um vetor unitário na direção de v = i + j + 2k:

Encontre a magnitude de v:

|v| = √(1² + 1² + 2²) = √6 ≈ 2,4495
Divida o vetor v por sua magnitude:

û = v/|v| = (1/√6)i + (1/√6)j + (2/√6)k
É isso! û é o vetor unitário na direção de v.

O produto escalar de dois vetores na mesma direção é positivo ou negativo?

O produto escalar de dois vetores na mesma direção é sempre positivo. Isso ocorre porque o produto escalar de dois vetores na mesma direção é igual à multiplicação de suas magnitudes, e suas magnitudes são sempre positivas.

Como encontrar a magnitude e a direção da soma de dois vetores?

Para encontrar a magnitude e a direção da soma de dois vetores:

Encontre a resultante dos dois vetores.
Some o quadrado de cada um dos componentes do vetor resultante.
Pegue a raiz quadrada do resultado anterior, e essa é a magnitude da soma de seus dois vetores!
Para calcular a direção do vetor v = (x, y), use a fórmula θ = arctan(y/x), em que θ é o menor ângulo que o vetor forma com o eixo horizontal, e x e y são os componentes do vetor resultante.